KruNat: เมทริกซ์ (Matrix)

1. สัญลักษณ์ของเมทริกซ์

กลุ่มของจำนวนถูกเขียนเรียงเป็นแถว ๆ ละเท่า ๆ กัน จะถูกล้อมรอบด้วยวงเล็บใหญ่ [ ] หรือวงเล็บเล็ก ( ) เราเรียกสัญลักษณ์ดังกล่าวว่า เมริกซ์ เช่น

หรือ

โดยทั่วไปเรานิยมเขียนเมทริกซ์ m × n

2. การเท่ากันของเมทริกซ์

เมทริกซ์ A และ B จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ มีมิติเดียวกัน และสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน นั่นคือ

A = B ก็ต่อเมื่อ a₁₁ = b₁₁ , a₁₂= b₁₂ เป็นต้น

ตัวอย่าง กำหนดให้

A = B ก็ต่อเมื่อ x= 1 และ y = 4 นั่นเอง

3. ทรานสโพสเมทริกซ์

A^t แทน ทรานสโพสเมทริกซ์ คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการนำสมาชิกใน

เมทริกซ์A มาเปลี่ยนจากแถวเป็นหลักตามลำดับ

ถ้า A = [a_ij]_mxn จะได้ A^t = [a_ji]_{nxm นั่นคือ การเปลี่ยนแถวเป็นหลักนั่นเอง}

4. เมตริกซ์เอกลักษณ์

I_n แทนเมตริกซ์เอกลักษณ์มิติ n x n เช่น

จะเห็นว่า

I₁₁ = 1 I₁₂ = 0 I₁₃ = 0

I₂₁ = 0 I₂₂ = 1 I₂₃ = 0

I₃₁ = 0 I₃₂ = 0 I₃₃ = 1

นั่นคือ เมื่อ I_{ij ; i = j}จะมีค่าเป็น 1 และเมื่อ I_ij; i≠j จะมีค่าเป็น 0

5. การบวกเมทริกซ์

ถ้า A = [a_ij]_mxn และ B = [b_ij]_mxn

A+ B = [a_ij + b_ij ]_mxn

ตัวอย่าง ให้

จากตัวอย่างจะพบว่า

6. การคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์

สเกลาร์ คือ จำนวนจริง ให้ = c

ถ้า A = [a_ij]_mxn

cA = [ca_ij]_mxn

กำหนดเมทริกซ์ $A = (a_{i,j})_{m \times n}$ และจำนวน

c

เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์

c A

ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด $m \times n$ ที่คำนวณโดยการนำ

c

ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ

A

กล่าวคือ หาก $B = (b_{i,j})_{m \times n} = cA$ แล้ว

b i, j = c a i, j

ยกตัวอย่างเช่น

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

7. การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

A_mxp B_qxn = C_mxn

P ต้องเท่ากับ q จึงจะคูณได้

อธิบาย

ถ้า $A = (a_{i,j})_{m \times n}$ และ $B = (b_{i,j})_{n \times p}$ เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ

A

เท่ากับจำนวนแถวของ

B

แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ

A B

ว่าเป็นเมทริกซ์ $C = (c_{i,j})_{m \times p}$ โดยที่

$c_{i,j} = a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,i} + \cdots + a_{i,n} b_{n,i} = \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}$

กล่าวคือสมาชิกในแถว

i

หลัก

j

ของผลคูณ

A B

คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก

i

ของ

A

และสมาชิกของคอลัมน์

B

ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง

n

ผลคูณนั้นมาบวกกัน
ปฏิบัติการนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ $a_i = (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots, a_{i,n})$ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว

i

ของ

A

และให้ $b_j = (b_{1,j}, b_{2,j}, \ldots, b_{n,j})$ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก

j

ของ

B

แล้ว เราจะได้ว่า $c_{i,j} = a_i \cdot b_j$ เมื่อ $a_i \cdot b_j$ คือผลคูณจุดของ

a i

และ

b j

เช่น

ให้ $A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{bmatrix}$ และ $B = \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \\ b_{3,2} & b_{3,2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \\ \end{bmatrix}$